前段时间给大家测评了英语启蒙APP后（文章：我又测评了10个英语启蒙APP，这些原版外语资源最丰富），很多朋友呼吁我继续测评一下市面上的数学启蒙APP，因为现在数学启蒙在国内大热，有一个专门的词来形容这个趋势，叫培养孩子的“数理思维”能力。
可是“数理思维”的内核究竟是什么？我却很少在大热的数学启蒙APP里看到对这个定义的剖析和陈述，所以今天的文章，其实是想跟大家聊聊我心中对于好的数学思维的标准。如果我们不能洞察它，我们无法真正培养孩子的数理思维。
我从来都不觉得数学思维就是孩子能计算到多少数字，或者心算能力有多强，它背后更重要的是对世界万物的探索和解答过程。
当我们很想了解太阳和地球关系的时候，我们创造了“光年”这一概念来定义彼此之间的距离，让行星之间的探索变得可以被测量；当我们很想了解手头上复杂密集的信息时，我们开发了很多数学运算公式，来帮助我们理解和吸收……数学，在我看来就是展现思考最纯粹形式的科学，因为数学的诞生，就是一整套的思想体系。
我之前分享过一本书，是美国哈佛大学博士，著名数学教授克里斯昂·赫塞撰写的《德国一流大学教你数学家的22个思考工具》，目前国内还没有引进，我是在香港买的。这本书对我的启发很大，几乎影响了我对两个孩子很早期的数学思维的搭建。因为它让我看到非常多容易理解又极其有效的思维工具，让我们学会如何将手头上有限的信息加以消化、理解，并创造出新的思维方式。
当然这本书非常全，从孩子到成人都实用，我也时不时会常翻常新，毕竟Joshua现在都小学一年级了，他目前学的数学体系更偏新加坡数学思维，有很多创新的捷径，也让我看到思考的迷人之处。▼
今天的文章，便是跟你分享下在克里斯昂·赫塞的研究里，让我觉得特别有共鸣的3个数学家的思维工具箱，我觉得非常合适10岁之前的孩子，无论你的孩子在幼儿园、抑或刚上小学，它都会帮助我们如何透过现象看本质，让孩子从小就有意识地积累和开发自己的数学思维洞察力。
第一个思维工具箱
- 用排序方法观察万物、判断内在规律
赫塞的研究里对我影响很大的第一个工具箱是排序。他让我意识到，原来世界万物的秩序感对孩子的数学思维开拓有那么重要的关系。
什么叫排序？其实排序是指我们去思考事物与事物之间有什么样的差异点，建立一种标准，然后就可以根据这些差异点所建立起来的标准，排列事物的顺序。我们在引导孩子思考排列的时候，其实我们是让孩子们逐渐将自己周围的事物进行组织化，并且进行理解的方法。
如何达到数学家所描述的，用排序方法观察万物、判断内在规律呢？直观的描述便是，无时不刻让孩子有机会去观察和运用排序的概念。
举个例子，我在家里经常和孩子们玩的一个排序游戏，叫“家里谁最特别呢？”，在这个过程中，我会引导爷爷奶奶、我和老公，两个小孩子一起进行互相提问并排序的游戏，大家一起找到问题的答案，比如彼此问一下对方“家里谁的年纪最大？”、“家里谁的年龄最小？”然后大家就一起按照从大到小，或者从小到大的顺序一起排序，合影，并且贴出来，让孩子在玩得很开心的过程中又能直观地学习到这个数学概念。
此外，看书的时候也一样可以通过图片的陈列来讨论，很多书都可以找到这类的话题，比如下图是孩子们在看DK的《My very important World》（英文版，还没引进），我们都会在这些页面多停留。▼
排序的学习依然需要继续延伸，比如手的长度、脚的长度、嘴巴大小和身体重量等数值都是很好的标准制定，让孩子了解这些抽象的数字在具体的事物中对应的意义，孩子慢慢就能掌握这个数学概念了。
此外，使用天秤、测量体重的工具，还有看尺子的度量标准，这些就是让孩子在做排序游戏的时候更有主导权。我之前分享过孩子用积木图表来思考课室里不同物体之间的长短比，这些都开拓了孩子的思维。下图便是孩子的数学作业解题过程。▼
我家孩子多大的时候开始引入排序概念的学习呢？其实我在弟弟两岁后已经开始了，因为孩子是可以直观理解这个概念，两个以上的事物就完全可以深入排序的概念。
第二个思维工具箱
- 寻找和运用类比，让孩子学会推理
赫塞的研究，对我影响很大的第二个工具箱便是类比的运用。直接描述便是，启发孩子思考，将一个已经知道答案的问题回推到另一个类似问题。
类比的运用特别适合孩子拦不住的“十万个为什么”好奇心，比如当我们和孩子引入宇宙科普知识的时候，询问孩子“地球和月亮的关系，就好比是土星和什么的关系一样？”，这也是一种启发孩子学习类比的好问题；▼
相似的问题还包括，比如“当我们折断一次巧克力的时候，会变成两块巧克力，那如果折断两次呢，会变成多少块？”这同样也是一个启发孩子学习类比的好问题。
类比基本上是学龄前孩子思考的主要逻辑之一，孩子在问“是什么”和“为什么”的时候，其实他也是在试图用他可以理解的概念去学习和吸收知识。比如教孩子1+1=2这个道理，其实远不如给孩子两个苹果，让孩子把苹果依次放进一个袋子里，然后提问袋子里有几个苹果，这样更引人入胜。▼
这里很重要的讨论方式是，我们能够帮助孩子打开思维的想象空间，特别是观察和引入抽象或者复杂概念的时候，别忘了一定要多的运用类比的方法。
如果带孩子去了解宇宙和时空，经常会出现不同年代的时间对比、宇宙间不同行星之间的重量对比。比如之前孩子问过我，“妈妈，木星等于多少个地球呢”，我当时说，“木星等于1300个地球。” 很显然，孩子下一步可能就会问，“那1300个地球是多少？”
我当时已经跟孩子玩过大富翁的游戏，他们认识过钱的概念，也知道钱有基本的500、100和50等大小，所以我就直接从大富翁桌游盒里取了一些钱币，跟孩子说，
“1300个地球是多少？比如昨天我们玩的大富翁游戏，你拿出两个500块，3个100块，一块钱等于1个地球的话，那就是1300个地球。你想想看，多不多？”▼
当我们可以这么回答孩子时，那便是在运用类比的方式，教孩子如何解决更多的抽象问题，让孩子可以从他之前掌握的定义中去延伸知识，也打开了我们数学启蒙教学的丰富之处。
第三个思维工具箱
- 归纳总结，提高解题能力
赫塞的研究，对我影响很大的第三个工具，是归纳总结的能力，这里很合适当孩子遇到难题时，我们能否帮助孩子打开解题思路，启发孩子思考。
大家可能没有意识到，我也是看了赫塞的研究才顿悟，原来在早期启蒙时，这项能力完全可以通过拼图启蒙来开发。很多数学家都是拼图的痴迷研究者，包括著名的阿基米德，他很多的数学研究，最开始的起点都是对拼图游戏的探索和总结。因为一个14块的拼图，拼成正方形的拼法竟然可以达到268种，而这种持续不断地总结归纳的过程，其实是开发了一个人另辟蹊径解决问题的能力。▼
一个喜欢拼图的孩子其实是在尝试用特殊化的原则去解决问题，他可能会先从观察不同拼图之间的差异性的过程中去思考从何处入手，又如何从一片与一片之间找规律。
那么我们父母可以怎么样帮助和启发孩子巩固这种思考方式呢？
首先当然是观察，孩子拼图的过程其实就是孩子思考模式的说明书，我们可以留意到孩子的每一个步骤的思考过程，而这个步骤是孩子自己给自己下的说明书。他其实一点意识都没有，他到底是从那个地方开始切入去拼合拼图，这些就是我们讲的拼图的规律，所以如果以后在旁边陪孩子玩拼图，我们可以做个小笔记，去思考孩子观察拼图的路径。
接着便是提问，在孩子终于成功的拼完拼图后，可以问问孩子，“我观察到你一开始是从这边区域的拼图开始，是为什么呢？”如果下一次发现孩子已经换了另外一种拼法，可以引导孩子去思考，“为什么这次换了方式”，又或者是直接在开始新一轮拼图时问问孩子，“我看到你昨天是从上往下拼，要不今天我们来试试从下往上拼？”
这些提问我想我们很少会在生活中做，但是相信我，如果你尝试这么去做，你会发现就这么简单的一个拼图游戏，孩子可以给到你非常多不同的思维方式的惊喜。
其实赫塞的研究很丰富，虽然那本书写得还蛮高深的，但还有很多工具箱也很不错，比如对时间、空间的切分和测量原理的洞察、对对称原理的把握等等，有很多好的科学总结，它让我们知道在生活中、在跟孩子的沟通中，可以如何做更好，这是很多APP或者模式化的工具做不到的。
所以现在有很多朋友也会问我，有没有给Joshua报奥数、或者报哪个数学思维APP，但坦白说，目前还真没有，所以我在做数学启蒙APP的测评时，更多的是从一个专业的数学思维标准层面去判断产品是否“合格”，又或者有哪些地方是产品做不到需要我们特别留心的地方，文章还没写完，先跟大家兜个底。
但是我认为数学真的是生活的一部分，是孩子如何用自己的方法来尝试解决问题的思维方式，而不仅仅只是局限于给出某一个题目的答案。▼
孩子数学思维能力的高低关键在于孩子尝试找答案的过程，孩子做了什么假设，并且如何去验证这个假设。如果我们没有从本质上意识到这个问题，孩子的数学能力不会扎实，最后只是表面上看起来数学成绩有提高，但是孩子永远也没有办法具备科学家、数学家的思维能力。
我们一定不要忘记了！
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作者萌芽，学龄前家庭教育品牌【小芽启萌】创始人，全球婚姻疗法和情绪训练权威机构约翰戈尔曼的首位中国实习治疗师。 公众号萌芽研究所BUD（ID：myyjs_bud）专注于早教启蒙和亲子沟通，是百万妈妈信赖的育儿号